Números Racionales y Números Irracionales

Se define equivalencia, dentro del ámbito de las fracciones, como una relación fundamental. Y se enuncia de la siguiente manera:

Dos fracciones (a/b , c/d) son equivalentes cuando, y sólo cuando, se cumple que: a*d = c*d.

Principio fundamental de equivalencia entre fracciones

Con respecto a la representación gráfica de este principio, simbólicamente se utiliza el símbolo de aproximación (≈), y no el de igualdad (=).

Esta relación de equivalencia es reflexiva, simétrica y transitiva.

Un ejemplo de fracciones equivalentes

4/8 es equivalente a 8/16, que a su vez es equivalente a 16/32. Las tres fracciones son equivalentes entre sí.

Definición de número racional

En matemáticas consideramos que cada fracción define un número racional, y por ello, aplicando el principio de equivalencia, podemos definir como número racional la clase de fracciones equivalentes a una dada.

El conjunto de números racionales se representa por Q.

Todo número racional tiene infinitas fracciones representantes, y de todas ellas, la fracción que tiene sus términos primos entre sí como fracción irreducible. Esta fracción «primera» se conoce como forma canónica (expresión que equivale a «forma tipo»).

Los número racionales nos permiten realizar operaciones básicas como sumar, restar, multiplicar o dividir.

Los números racionales siempre pueden ser representados en una recta, incluso cuando no se trate de un número entero. Veamos un ejemplo de representación en recta de un número no entero:

Todos los números enteros son número racionales, pero no al revés.

Como acabamos de ver con el ejemplo anterior, hay números racionales que no son números enteros.

Definición de número irracional

Definimos los números irracionales como aquellos puntos que no podríamos haber representado con exactitud en la recta anterior.

Los números racionales no «llenan» la recta, si no que existen «huecos» entre los distintos números racionales

Dicho de otro modo, un número irracional es aquel que no puede ser expresado por una fracción irreductible.

Ejemplos de números irracionales: √2 (raíz cuadrada de 2 es un número irracional), √3, √10…

El conjunto de números formado por los números irracionales y los números racionales es lo que conocemos como números reales (y se presenta como R).

Y ahora sí, con el conjunto R (conjunto de número reales) si podemos llenar por completo la recta (lo que se conoce como recta real).