Números Racionales y Números Irracionales

Para entender los números racionales e irracionales, vamos a necesitar antes una noción básica de matemáticas. Vamos a hablar brevemente sobre fracciones.

Fracciones equivalentes

En el ámbito matemático, y más concretamente dentro del ámbito de las fracciones, se define equivalencia como una relación fundamental. Enunciándose de la siguiente manera, en base al principio fundamental de equivalencia entre fracciones:

Dos fracciones (a/b , c/d) son equivalentes cuando, y sólo cuando, se cumple que: a*d = c*d.

Con respecto a la representación gráfica de este principio, simbólicamente se utiliza el símbolo de aproximación (≈), y no el de igualdad (=).

Esta relación de equivalencia es reflexiva, simétrica y transitiva.

4/8 es equivalente a 8/16, que a su vez es equivalente a 16/32. Las tres fracciones son equivalentes entre sí.

Un vez introducidos a la terminología que nos va a permitir entender mejor los números racionales y los números irracionales, vamos a ello.

Definición de número racional

En matemáticas consideramos que cada fracción define un número racional, y por ello, aplicando el principio de equivalencia, podemos definir como número racional la clase de fracciones equivalentes a una dada.

El conjunto de números racionales se representa por Q.

Todo número racional tiene infinitas fracciones representantes, y de todas ellas, la fracción que tiene sus términos primos entre sí se conoce como fracción irreducible. Esta fracción «primera» se conoce también como forma canónica (expresión que equivale a «forma tipo»).

Los número racionales nos permiten realizar operaciones básicas como sumar, restar, multiplicar o dividir. Además, un truco muy sencillo para identificarlos es que los números racionales siempre pueden ser representados en una recta, incluso cuando no se trate de un número entero. Veamos un ejemplo de representación en recta de un número no entero:

Todos los números enteros son número racionales, pero no al revés. Pues tal y como acabamos de ver en el ejemplo anterior, existen números racionales que no son números enteros.

Definición de número irracional

Definimos los números irracionales como aquellos puntos que no podríamos haber representado con exactitud en la recta anterior.

Los números racionales no «llenan» la recta, si no que existen «huecos» entre los distintos números racionales. O dicho de otro modo, un número irracional es aquel que no puede ser expresado por una fracción irreductible.

Ejemplos de números irracionales

√2 (raíz cuadrada de 2 es un número irracional), √3, √10…

El conjunto de números formado por los números irracionales y los números racionales es lo que conocemos como números reales (y se presenta como R).

Y ahora sí, con el conjunto R (conjunto de número reales), sí podemos llenar por completo la recta (lo que se conoce como recta real).