La Paradoja del Cumpleaños

Hoy vamos a hablar de un problema matemático con un resultado muy curioso, de ahí que se conozca como… LA PARADOJA DEL CUMPLEAÑOS.

Os voy a plantear el siguiente problema:

Imaginad que tenemos a 23 personas en una sala, si tuvieras que apostar, ¿qué probabilidad crees que hay de que dos de esas veintitrés personas cumplan años el mismo día?

Probablemente, aplicando la lógica, lo primero que te venga a la cabeza es que la probabilidad es bajísima. Es más, aunque probablemente conozcas a una o más personas que cumplen años el mismo día, vas a seguir pensando que se trata de una gran casualidad pero…

Y… ¿qué dice la estadística sobre esto?

La respuesta, probablemente, os dejará con la boca abierta.

Calculando la probabilidad de que dos personas cumplan años el mismo día

Lo curioso, y por eso se le llama paradoja, es que la probabilidad de que dos personas cumplan años el mismo día en una sala de solamente 23 personas es altísima.

La estadística nos dice que la probabilidad de que se cumpla la afirmación de que en una sala con 23 personas, al menos 2, cumplan años el mismo día, alcanza el 50.66%. ¿Sorprendido?

Pues podemos llegar todavía a valores más altos sí seguimos aumentando el tamaño de la sala. Cuando en una misma sala haya un total de 57 personas, la probabilidad de que dos cumplan años el mismo día es de un 99.66%.

¿Sorprendido? No lo estarías si conocieses el principio del palomar, ya que la paradoja del cumpleaños se apoya en este principio matemático.

Demostración de la paradoja del cumpleaños en R

Vamos a utilizar un bucle for para calcular en R esta paradoja estadística:

total=1; 
for(i in 1:50) { 
        total=total*((366-i)/365)
        cat("Grupo de", i, "personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día", 1-total,"% \n")
}

Grupo de 1 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0 %
Grupo de 2 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.002739726 %
Grupo de 3 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.008204166 %
Grupo de 4 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.01635591 %
Grupo de 5 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.02713557 %
Grupo de 6 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.04046248 %
Grupo de 7 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.0562357 %
Grupo de 8 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.07433529 %
Grupo de 9 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.09462383 %
Grupo de 10 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.1169482 %
Grupo de 11 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.1411414 %
Grupo de 12 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.1670248 %
Grupo de 13 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.1944103 %
Grupo de 14 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.2231025 %
Grupo de 15 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.2529013 %
Grupo de 16 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.283604 %
Grupo de 17 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.3150077 %
Grupo de 18 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.3469114 %
Grupo de 19 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.3791185 %
Grupo de 20 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.4114384 %
Grupo de 21 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.4436883 %
Grupo de 22 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.4756953 %
Grupo de 23 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.5072972 %
Grupo de 24 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.5383443 %
Grupo de 25 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.5686997 %
Grupo de 26 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.5982408 %
Grupo de 27 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.6268593 %
Grupo de 28 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.6544615 %
Grupo de 29 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.6809685 %
Grupo de 30 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.7063162 %
Grupo de 31 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.7304546 %
Grupo de 32 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.7533475 %
Grupo de 33 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.7749719 %
Grupo de 34 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.7953169 %
Grupo de 35 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.8143832 %
Grupo de 36 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.8321821 %
Grupo de 37 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.848734 %
Grupo de 38 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.8640678 %
Grupo de 39 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.8782197 %
Grupo de 40 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.8912318 %
Grupo de 41 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.9031516 %
Grupo de 42 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.9140305 %
Grupo de 43 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.9239229 %
Grupo de 44 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.9328854 %
Grupo de 45 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.9409759 %
Grupo de 46 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.9482528 %
Grupo de 47 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.9547744 %
Grupo de 48 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.960598 %
Grupo de 49 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.9657796 %
Grupo de 50 personas. Probabilidad de que 2 cumplan años el mismo día 0.9703736 %

Y esta sería la representación gráfica de las 100 primeras iteraciones de la paradoja matemática del cumpleaños: